Smoothing and Decomposition 평활법과 분해법

시계열 분해법과 평활법 관련 내용을 정리합니다.

• Decomposition
  • Additive Decomposition (constant seasonal variation)
  • Multiplicative Decomposition (increasing seasonal variation)
• Smoothing
  • lowess smoother
  • moving averages smoother
  • single exponential smoother

시계열 분해 Time-series Decomposition

시계열 분해 Decomposition

• 시계열 데이터의 패턴을 체계적, 비체계적 성분으로 구분한 후 이를 활용해 예측에 활용한다.
• 시계열 분해의 주 목적 중 하나는 seasonal effects 계절성 효과를 추정하기 위함이다.
• 또 다른 목적은 seasonal adjustment 계절조정이다. seasonally adjusted value 계절효과가 제거된 값으로 추세를 더 잘 파악할 수 있어 경제지표에 대한 장기변동 예측에 활용된다.

시계열의 4가지 구성성분

시계열 4개의 성분(주기, 추세, 계절성, 노이즈)을 체계적/비체계적 성분으로 나눌 수 있다.

• 체계적 Systematic 성분 : 일관성, 재발현이 예측 가능, 모형화 가능한 성분
  • Level Cycle 주기, 순환
    사인함수(sine function)의 형태(주기)를 가지며 시간의 흐름에 따라 증감이 반복되나 주기는 불규칙함. 주기의 평균(중앙) 값을 level (총평균)이라 함.
  • Trend 추세, 동향
    시간의 경과에 따른 증가, 감소하는 등의 일정한 추세를 갖는 변동
  • Seasonality 계절성
    강수량, 기온, 실업율 등 연, 월, 분기 등의 일정한 주기가 규칙적으로 반복되는 주기를 갖는 성분
• 비체계적 Non-Systematic 성분 : 무규칙 성분
  • Noise 무규칙성
    white noise 백색잡음으로 시간과 관계없이 랜덤한 원인에 의해 나타나는 변동으로 예측할 수 없고, 관심 대상 성분이 아님.

시계열 분해법 2가지 : 가법모형 & 승법모형

1. Additive Decomposition 가법모형(덧셈분해)
   $x_t = Level + Trend + Seasonality + Noise$

   • 구성요소가 독립적이라는 가정 하에 사용한다.
   • 계절적 변화가 상대적으로 일정한 경우 사용한다.
   • 계절성 효과로 평균 0으로 조정되거나,

2. Multiplicative Decomposition 승법모형(곱셈분해)
   $x_t = Level * Trend * Seasonality * Noise$

   • 구성요소가 독립적이지 않고 상호작용한다는 가정 하에 사용한다.
   • 계절적 변화가 시간에 따라 증가하는 경우 사용한다.
   • 계절성 효과로 평균 1로 조정된다.

시계열에 다양한 성분들이 있지만, 추세-주기 분해와 계절성분해만 살펴보도록 하자.

시계열 분해 방법

• $1st$ step : estimate the trend 추세 추정
  추세를 추정함에 있어 2가지 접근 방법이 있다.

  • 이동평균, 지수평활법을 통해 추세 추정 (an equation is not used to describe trend.)
  • regression equation 회귀식으로 추세 모델링

• $2nd$ step :“de-trend” the series 추세 제거

  1. 가법모형 : 시계열에서 trend estimates 추세 추정치를 뺀다.
  2. 승법모형 : 시계열에서 추세 추정치를 나눈다.

• $3rd$ step : estimate seasonal factors 계절 요인 추정
  de-trended series 추세가 제거된 시계열에서 계절성 요소를 추정한다. 특정 계절(monthly,quarterly,..)에 대해 추세가 제거된 값의 평균(혹은 중앙값)을 사용해 조정한다. average the de-trended values for a specific season.

  1. 가법모형 : 평균이 0이 되도록 조정
  2. 승법모형 : 평균이 1이 되도록 조정

• $4th$ step :determine the random (irregular) component. 불규칙 성분 추출

  1. 가법모형 : $random = series – trend – seasonal$
  2. 승법모형 : $random = series / (trend*seasonal)$