[선형대수학] 벡터와 행렬의 성질 - 놈, 대각합, 행렬식

벡터와 행렬의 성질 관련 내용을 정리합니다.

놈

대각합

trace 대각합은 diagonal elements 대각원소의 합이다. (정방행렬에 대해서만 정의된다.)

$\operatorname{tr}(\mathbf{A})=A_{11}+A_{22}+\cdots+A_{N N}=\sum_{i} A_{i, i}$

대각합의 성질

• Cyclic property
  두/세 행렬 곱의 대각합은 순서를 순환시켜도 달라지지 않는다.
  • $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$
  • $\operatorname{tr}(A B C)=\operatorname{tr}(B C A)=\operatorname{tr}(C A B)$
    ↪ 곱셈에서 순서가 순환해도 대각합이 같다는 성질
• $\operatorname{tr}\left(A^{T}\right)=\operatorname{tr}(A)$
  전치연산을 해도 대각합은 달라지지 않는다.
• $\operatorname{tr}(c A)=c \operatorname{tr}(A)$
• $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$

행렬식

행렬식 Determinant

행렬 $A$의 행렬식을 $\operatorname{det}(A), \operatorname{det} A, |A|$ 로 표기한다.

• 정방행렬의 Determinant 행렬식은 스칼라 형태이다.

행렬식의 계산

라플라스 공식

$n \times n$ 정방행렬$C$의 행렬식은 다음과 같다.

$\operatorname{det}(C)=|C|=\left|\begin{array}{cccc}
c_{1,1} & c_{1,2} & \ldots & c_{1, n} \\
c_{2,1} & c_{2,2} & \ldots & c_{2, n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n, 1} & c_{., 2} & \ldots & c_{n, n}
\end{array}\right|$
$\begin{array}{c}
=(-1)^{1+1} c_{1,1}\left|\begin{array}{ccc}
c_{2,2} & \cdots & c_{2, n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n, 2} & \cdots & c_{n, n}
\end{array}\right|+(-1)^{2+1} c_{2,1}\left|\begin{array}{ccc}
c_{1,2} & \cdots & c_{1, n} \\
c_{3,2} & \cdots & c_{3, n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n, 2} & \cdots & c_{n, n}
\end{array}\right|+\ldots \\
\cdots+(-1)^{n+1} c_{n, 1}\left|\begin{array}{ccc}
c_{1,2} & \cdots & c_{1, n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n-1,2} & \cdots & c_{n-1, n}
\end{array}\right|
\end{array}$

tf.linalg.det(tf.constant([[1, -1], [2, 3]], dtype=tf.float32))

행렬식의 성질

• $\det(A^{T}) = \det(A)$
  전치행렬의 행렬식은 원래의 행렬의 행렬식과 같다.
• $\operatorname{det}(I)=1$
  항등 행렬의 행렬식은 1이다.
• $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) * \operatorname{det}(B)$
  $A, B$가 동일한 차원의 정방행렬이라면 두 행렬식의 곱은 각 행렬식의 곱과 같다.
• $A^{-1} A=A A^{-1}=I$
  역행렬은 원래의 행렬과 다음 관계를 만족하는 정방행렬이다.
• $\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}=\operatorname{det}(A)^{-1}$
  역행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식의 역수와 같다.
• $\operatorname{det}(c A)=c^{n} \operatorname{det}(A)$
  $A$rk ${n \times n}$ 정방행렬, $c$ 스칼라이면, 상기 식이 성립한다.